SISUKORDA

Loeng 5.   Jõuväljad.   Ülesanded

1. Küsimused.
   • Sõnastage ülemaailmne gravitatsiooniseadus
   • Kuidas sobitatakse gravitatsiooniseadus Newtoni III seadusega?
   • Kuidas sõltub gravitatsioonijõud keha(de) massist?
   • Kuidas sõltub gravitatsioonijõud kehade vahelisest kaugusest?
   • Kuhu on suunatud gravitatsioonijõu vektor?
   • Kuidas määratakse gravitatsioonikonstant? Milline on tema dimensioon?
   • Kirjutage gravitatsiooniseaduse vektorvalem ja selgitage, kuidas on temasse kodeeritud (matemaatiliste sümbolitega kirja pandud) vastused eelmisele viiele küsimusele.
   • Mis on "inertne mass"? Andke definitsioon!
   • Mis on "raske mass"? Andke definitsioon!
   • A. Eisteini ekvivalentsusprintsiip väidab, et "raske ja inertne mass on ekvivalentsed (samaväärsed)". Näidake, et see väide on samaväärne Galilei väitega et "kõik kehad kukuvad ühesuguse kiirendusega".
   • Mis on jõuväli? Vaata 1. loengust!
   • Defineerige gravitatsioonivälja tugevus ja kirjutage selle vektorvalem.
   • Mis on "pöördruutsõltuvus"?
   • Kuidas arvutada gravitasioonivälja tööd?
   • Defineerige gravitatsioonivälja potentsiaal.
   • Millistel tingimustel saab jõuvälja kirjeldada potentsiaali abil?
   • Kuidas arvutada väljatugevust, kui on teada potentsiaal?
   • Mida tähendab potentsiaalivälja normeerimine? Kuidas seda rakendatakse gravitatsioonivälja korral?
   • Tuletage gravitatsioonivälja tugevuse dimensioon.
   • Tuletage gravitatsioonivälja potentsiaali dimensioon.
   • Mis on gradient? Kuidas seda arvutada?
   • Sõnastage potentsiaalse energia miinimumi lause.

   
   

2. Kooliülesanded (TÜ ülesannete kogust).
   1. Millise jõuga tõmbavad teineteist kaks kokku puutuvat ümmargust raudkuuli, kumbki raadiusega 10 cm? Raua tihedus on 7800 kg/m³, gravitatsioonikonstant 6.67 10^-11Nm²kg^-2.

   2. Kui suur on Päikese külgetõmme Maa pinnal asuvale kehale, mille mass on 1 kg? Päikese mass on 2 10³⁰ kg, kaugus Maast 150 miljonit kilomeetrit.

   3. Millisel kõrgusel maapinnast on vaba langemise kiirendus 1 m/s²?

   4. Kui suur on raskuskiirendus Kuu pinnal? Kuu mass on 81 korda väiksem Maa massist, tema raadius 3.7 korda väiksem Maa raadiusest, raskuskiirendus Maal 9.8 meetrit sekundis sekundi kohta.

   5. Kui palju tuleb teha tööd, et viia keha massiga 1 kg Maa pinnalt lõpmatusse? Maa mass on 6 10 ²⁴ kg, läbimõõt 12700 km.

   6. Millise minimaalse kiiruse peab andma raketile Kuu pinnal, et see jäädavalt lahkuks Kuult? Kuu mass on 7.35 10²² kg, läbimõõt 3500 km.
      Ja paar samasugust, kuid pisut raskemat:

   7. Millisel kõrgusel asub globaalside satelliitide nn. geostatsionaarne orbiit, kus nende tiirlemisperiood on võrdne Maa pöörlemisperioodiga nii, et kaaslane asub kogu aeg ühe ja sama geograafilise punkti kohal?

   8. Milline on 100 km kõrgusel Kuu pinnast tiirleva Kuu tehiskaaslase kiirus? Kuu mass on 7.35 10²² kg, läbimõõt 3500 km.

   9. Asteroid Erosele laskunud kosmosesond NEAR viidi kõigepealt sellest 100 km kaugusel paiknevale ringorbiidile. Hinnake sondi tiirlemisperioodi, teades, et Erose läbimõõt on keskmiselt 8 km ja tihedus 3800 kg/m³.

   
   

3. Elektriväli vektorväljana
   Pöörd-ruutsõltuvusega jõuväljade ülesanded antakse tavaliselt mitte gravitatsiooni-, vaid elektrivälja jaoks. Põhjuseks on see, et elektriväli on maistes mastaapides võrratult tugevam tavaliste kehade gravitatsiooniväljast. Arvutus on aga täpselt sama, kuna välja kirjeldav Coulomb'i seadus on matemaatiliselt identne gravitatsiooniseadusega:
   $$F_E=k{{q_1q_2}\over{r^2}},$$
   ja elektrivälja tugevuse saame kujul
   $$\vec E=k{q\over{r^3}}\vec r.$$
   
   
   $k=9\cdot 10^9Nm^2C^{-2}$ on elektrostaatiline konstant, laengut $q$ mõõdetakse kulonites (C, väärtus võib olla nii positiivne kui negatiivne).
   Muidugi kehtivad needki valemid vaid punktlaengute kohta. Ja nüüd ülesanded:
   10. Leidke punktis koordinaatidega (4,-2,7) asuvale 200$\mu C$ suurusele laengule mõjuva jõu vektorvalem, kui välja tekitab koordinaatide alguspunktis (0,0,0) asuv punktlaeng -8mC.

   11. Leidke elektrivälja tugevus (anda vektorvalem!) punktis (0,5,-2), kui välja allikaks on punktis (-1,1,4) asuv punktlaeng +12mC.

   12. Leidke elektrivälja tugevus (vektorvalem) punktis (-2,0,0), kui välja tekitavad kolm punktlaengut q₁ = -0.4mC koordinaatidega (4,0,-2), q₂ = -0.05mC koordinaatidega (-2,0,3) ja q₃ = -2mC koordinaatidega (0,0,7).

   13. Millise välja tekitaks punktis (0,5,-2) ühtlaselt laetud sirge varras kogulaenguga 15 mC, mille üks ots asub koordinaatide alguspunktis ja teine punktis (0,2,0)? Vihje: jagage varras lõpmata lühikesteks juppideks ja integreerige!

   
   

4. Potentsiaal

   14. Tuletage punktlaengu potentsiaali valem, võttes malli loengukonspektis antud gravitatsioonivälja potentsiali $\varphi$ valemist. Tähistus võib samaks jääda, aga märgi üle tasuks järgi mõelda.

   15. Tuletage potentsiaalivälja valemid ülesannetes 11 - 13 antud laengujaotuste tarbeks.

   
   

5. Väljatugevus kui potentsiaali gradient.
   16. Potentsiaaliväli on antud valemiga $\varphi=8x^2-4yz$. Leidke sellele potentsiaalile vastava elektrivälja vektorvõrrand.

   17. Leidke elektriväli, mille potentsiaal avaldub valemiga $\varphi=6\ln{x\over y}$.

   
   

6. Numbri- ja arvutihulludele:
   Arvutage kiirusega $\vec v=4\vec i$ liikuva keha trajektoor, kui ta asub punktis (-6,2,0) ja teda mõjutab koordinaatide alguspunktis asuv punktmass 8 10¹¹ kg. Vihje: kasutage MathCad'i ja numbrilist integreerimist! Aga valemid tuleb endal teha.