SISUKORDA
Pöörlemine Lõplike mõõtmetega keha pöörlemise dünaamika Pöörlemisintegraalid Pöörlemisvektorid Inertsijõud pöörlevas süsteemis Pöörlemise tüübid Veeremine Vaba keha pöörlemine

Loeng 6. Tahke keha pöörlemine. Pöördliikumisest on seni juttu olnud kahel korral: staatika osas, kus meie esimest masinat pööras jõumoment ning kinemaatika osas, kus tõime näite kõva keha pöörlemisest kui ühedimensionaalsest liikumisest. Newtoni dünaamika ei erista pöördliikumist kulgevast liikumisest. Kuna sealsed valemid käivad punktmassi kohta, polegi neid võimalik eristada - punkt, millel pole joonmõõtmeid, ei saagi pöörelda.	Pöörlemise all mõistetakse jäiga, liikumise käigus mitte deformeeruva keha asendi (orientatsiooni) muutust. Pöörleva keha erinevad osad liiguvad piki erinevaid trajektoore, kuid säilitavad oma vastastikuse asendi.
Mispärast? Vihje: pange punktist telg läbi ja proovige defineerida pöördenurka!   Lõplike mõõtmetega keha pöörlemise dünaamika. Kui me tegime kulgliikumise valemeid, märkisime, et keha liikumise kirjeldamiseks piisab ühe punkti liikumisest, kuna kõik teised liiguvad samamoodi. Pöörlemist eristab kulgliikumisest just see, et samasuguse liikumise tingimus pole enam täidetud. Iga pöörleva keha punkt liigub kulgevalt, kuid nende trajektoorid ruumis on erinevad. Kuna keha jääb pööreldes siiski tervikuks, on need trajektoorid aga omavahel seotud - seetõttu saab võimalikuks kirjeldada keha pöörlemist ühe võrrandiga. Muidugi üksnes juhul, kui keha kuju ei muutu. Aga see eeldus oli vajalik ka kulgliikumise korral. Pöörlemise põhivõrrandite kirjapanek olekski esimene näide Newtoni seaduste kollektiivsest rakendamisest. Pöörlev keha jagatakse lõpmata väikesteks osadeks, mille liikumist saab kirjeldada kulgliikumise valemite abil. Neile valemitele lisanduvad keha koos püsimise matemaatilised tingimused. Eraldame vaadeldavast kehast tükikese, mille mass on $dm$. Olgu selle tükikese kaugus pöörlemisteljest $r$ ja mõjugu temale jõud $d\vec F$. Tükike peaks selle jõu mõjul hakkama liikuma jõu suunas kiirendusega $$\vec a={1\over{dm}}d\vec F$$ Peaks, aga ei saa. Pöörlemine tähendab, et keha need punktid, mis asuvad pöörlemisteljel, jäävad paigale. Kui meie poolt vaadeldav tükike liiguks telje suhtes, peaks keha kuju muutuma - see aga pole lubatud. Keha kuju säilib vaid juhul, kui tükike (koos kogu kehaga!) pöördub ümber telje, st. liigub risti nii telje kui ka teda teljega ühendava sirglõiguga. Seetõttu ei mõjuta pöörlemist mitte kogu jõud $d\vec F$, vaid tema see komponent, mis on nii telje kui $r$-ga risti.	Pöörlev keha: iga tükike dm liigub piki ringjoonelist trajektoori
Katsume nüüd kirja panna dünaamika põhivõrrandi - Newtoni II seaduse - selle tükikese kohta. Et kõik need diferentsiaalid meid segadusse ei ajaks, kujutame, et tegu on "normaalse" punktmassiga $m$ ja "normaalse" jõuga $\vec F$. Veel oletame, et jõud mõjub risti pöörlemisteljega. Selle jõu mõjul saab tükike kiirenduse
$$a_T={1\over m}F_T,$$ kus $F_T=F\sin\alpha$ ja $\alpha$ on nurk jõuvektori $\vec F$ ning tükikest pöörlemisteljega ühendava raadiuse $\vec r$ suuna vahel. Nagu jooniselt näeme, on aga $\sin\alpha={l\over r}$, kus l on jõu $\vec F$ õlg. Saame: $$a_T={1\over m}F_T={1\over m}F\sin\alpha={1\over m}F{l\over r}={1\over m}{M\over r},$$ kus $M=Fl$ on jõu $\vec F$ moment ette antud telje suhtes. Katsume siit jõuda pöörlemise kinemaatika valemis olevate suurusteni. Pöörde ulatust mõõtis seal pöördenurk $\varphi$, mille esimeseks tuletiseks aja järgi oli nurkkiirus $\omega=\dot\varphi$ ning teiseks tuletiseks nurkkiirendus $\varepsilon =\dot\omega=\ddot\varphi$. Et pöördenurka mõõdeti radiaanides (ringjoone kaare pikkuse ja raadiuse suhe!), on pöördenurga suuruseks $d\varphi =ds/r={1\over r}ds$ ning vastavalt $\varepsilon ={1\over r}a_T$. Pöörlemise dünaamika põhivõrrand tuleb nüüd lihtsalt:	Tükikese $dm$ liikumist saab kirjeldada tema kohavektori $\vec r$ ning pöördenurga $\varphi$ abil. Igal tükikesel on oma kindel kohavektor; pöördenurk aga on kõigile ühine.
$$\varepsilon r=a_T={1\over m}{M\over r}~~\Longrightarrow~~\varepsilon ={1\over{mr^2}}M={1\over I}M,$$ kus $I=mr^2$ on meie "tükikese" inertsimoment. Katsume leitut üldistada lõpliku kuju ja mõõtmetega keha kohta. Selleks tuleb leida keha kui terviku inertsimoment ja kehale mõjuv jõumoment. Inertsimomendi saame, kui liidame kokku kõigi tükikeste inertsimomendid: $$I_{keha}=\sum{I_{tükike}}=\sum{m_ir_i^2}.$$ Seda saab teisendada integraaliks, kui keha on ühtlase tihedusega, st. valmistatud mingist kindla tihedusega materjalist (puust, rauast jne.). Siis $$I=\int\limits_V\varrho r^2dV,$$	Tükikesele $dm$ mõjuv jõud $\vec F$ paneb pöörduma terve keha; arvesse tuleb vaid selle komponent $F\sin\alpha$, mis mõjub piki rakenduspunkti liikumissuunda (trajektoori puutujat).
kus $\varrho=m/V$ on tihedus ning integraal võetakse üle kogu ruumala ning $r$ on tükikese $dV$ kaugus teljest. Integraali saab arvutada korrapäraste kehade, nagu pöördkehad, vardad, tasapinnalised plaadid jne. puhul, kui õnnestub iga tükikese ruumala anda tema kauguse $r$ ja selle lõpmata väikese muudu $dr$ kaudu. Kõigil muudel juhtudel peame inertsimomendi määrama katseliselt, pannes keha kindla jõu(momendi) abil pöörlema. Kuidas seda teha? Vihje: meenutage üht laboritööd! Milline on jõumoment ja kuidas ta tekib, on omaette probleem. Koolifüüsikas käsitletakse lihtsaimat juhtu - jõupaari, mis moodustub kahest vastassuunalisest, kuid piki erinevaid sirgeid mõjuvast jõust. Tegelikult kujuneb jõumoment väga erinevat tüüpi jõudude koosmõjul - olgu näiteks laboritöös trumlilt mahakeriv nöör (mille poolt tekitatava jõumomendi suurust on lihtne määrata), aga ka hüdro- või auruturbiinile ning elektrimootori rootorile mõjuvad jõumomendid. Kõiki neid mõjusid saab võrrelda lihtsalt ette kujutatava momendiühiku njuutonmeetriga.	Jõumoment on võrdeline jõuvektori mooduliga ning jõu mõjumissirge kaugusega pöörlemisteljest.
Njuutonmeeter ($Nm$) on jõumoment (pöördemoment), mis on ekvivalentne ühenjuutonilise jõu poolt tekitatava momendiga, kui jõu õla pikkus on üks meeter. Jäiga keha pöörlemist iseloomustavate suuruste - jõumomendi ning inertsimomendi - sisse toomine lubab kasutada pöördliikumise kirjeldamiseks kulgliikumise valemeid. Paraku ei tee see neid liikumisi sarnasemaks. Kui ühtlane sirgliikumine on vaba oma olemuselt (keha jagunemisel osadeks jätkavad need kõik liikumist oma esialgsetel trajektooridel); siis pöörlemisel püsivad keha osakesed oma ringikujulistel trajektooridel ainult tänu keha koos hoidvatele sisejõududele. Kui tükkideks jaguneb ühtlaselt pöörlev keha, lendavad selle tükid mööda ruumi laiali. Küsimus: Kas oskate leida jõumomenti juhul, kui jõud ei ole risti pöörlemisteljega?	Pöörlemise põhivõrrand: Keha nurkkiirendus on võrdeline jõumomendiga ning pöördvõrdeline inertsimomendiga.
Pöörlemisintegraalid. Pöördliikumisele saab kerge vaevaga üle kanda ka töö, energia ja liikumishulga mõisteid. Vastavad valemid $$A=M\varphi ~~~(=Fl\cdot{s\over l}=F\cdot s);$$ $$E_{kin}={{I\omega^2}\over 2}~~~(={{mr^2({v\over r})^2}\over 2}={{mv^2}\over 2});$$ $$M\Delta t=\Delta(I\omega)~~\Rightarrow~~Fr\Delta t=\Delta(mr^2\cdot {v\over r})~~\Rightarrow~~F\Delta t=\Delta(mv).$$ Suurust $L=I\omega$ nimetatakse pöördimpulsiks, ka pöörlemishulgaks ja impulssmomendiks. Siin on nad toodud "lõpmata väikese ainetükikese" kohta - aga, nagu dünaamika valemiski, saab neid summeerida-üldistada lõplike mõõtmetega keha jaoks.	Ka pöördliikumisel kehtivad liikumishulga ning kineetilise energia jäävuse seadused. Neid on mõistlik esitatada pöörlemisele sobivas formalismis, ehkki sisu on sama mis kulgliikumisel
Ja loomulikult kehtivad nende kohta kõik kulgliikumises õpitud seadused. Kui pöörlemise kineetiline energia lihtsalt liitub varasema, potentsiaalset ja kulgliikumise kineetilist energiat sisaldava avaldisega, siis pöördimpulsi jäävuse seadust peetakse täiesti iseseisvaks liikumisintegraaliks. Ikka selsamal põhjusel et pöörlemine ja kulgliikumine pole samastatavad.   Pöörlemisvektorid. Lisaks ülaltoodule eristab pöördliikumist kulgliikumisest erilise punkti - pöörlemistsentri ja erilise sirge -pöörlemistelje olemasolu. Nii jõu- kui inertsimoment sõltuvad pöörlemistsentri ning -telje valikust. Kui vaadelda pöörlevat keha meie tavalises taustsüsteemis (Cartesiuse ristkoordinaadistikus), on pöörlemistsenter määratud kohavektoriga (nimetame seda pöörleva keha asukohaks ruumis), pöörlemistelg aga sellest punktist lähtuva sirge - pöörlemisvektoriga. Pöörlemisvektoriga saab edasi anda kogu pöörlemisvõrrandi. Selleks defineerime kolm suurust: pöördenurga vektor $\vec\varphi$ on vektor, mille moodul võrdub pöördenurgaga ja mille suund antakse piki pöörlemistelge nii, et keha pöördumisel ümber telje kehtiks "parema käe kruvireegel": Kui keha pöörlemissuund võtta tavalise (parempoolse vindiga) kruvi pöördumissuunaks, siis ühtib kruvi liikumissuund pöördenurga vektori suunaga. nurkkiiruse vektor $\vec\omega$ on vektor, mille moodul võrdub nurkkiirusega ning mille suund piki telge ühtib pöördenurga suunaga, kui nurk suureneb ja on sellega vastassuunaline, kui pöördenurk väheneb; nurkkiirenduse vektor $\vec\varepsilon$ on vektor, ... (jätkake ise!).	Pöörlemisvektorite suuna määrab (parempoolse) kruvi reegel.
Pöörlemisvektorid pole tegelikult õiged vektorid: neid ei saa liita-lahutada, ka ei kehti nende jaoks taustsüsteemi vahetuse valemid. Neid detaile käsitleb jällegi teoreetiline mehaanika. Et märkida erinevust "õigete vektoritega", nimetatakse neid aksiaal- ehk pseudovektoriteks. Aga arvutada nendega saab. Näiteks võime pöörleva keha mingi punkti joonkiiruse (tangentsiaalkiiruse) vektori avaldada nurkkiiruse vektori ning vaadeldava keha kohavektori ja pöörlemistsentri kohavektori vahe vektorkorrutisena: $$\vec \omega \times \vec r = \vec\omega\times (\vec r_{p}-\vec r_{ts}),$$ kus $\vec r_p$ on vaadeldava punkti kohavektor, $\vec r_{ts}$ aga pöörlemistsentri kohavektor. Mida kujutab endast vektorkorrutis, vaadake matemaatika konspektist. Samasugused valemid saame teha ka pöörleva keha suvalise punkti nihke ning tangentsiaalkiirenduse tarbeks. Tehke seda! Kuidas leida normaalkiirendust, sellest järgmises punktis.	Punkti joonkiiruse leidmine keha nurkkiiruse ja tema ning pöörlemistsenri kohavektorite kaudu.
Inertsijõud pöörlevas süsteemis. Keha pöörlemine ei tähenda midagi, iga tema "tükike" liigub ikkagi Newtoni (kulgliikumise) seaduste järgi. Ringjoonelisel trajektooril hoiavad teda aine ehitusest tulenevad sisejõud. "Tükikeste" püüdu sirgliikumise poole kajastavad inertsijõud, mis on tasakaalustatud sisejõudude poolt. Kõik nad tuletatakse Newtoni II seadusest kujul $\vec F=m\vec a$, kus kiirendus $\vec a$ väljendab "tükikese" vastuseisu pöörlemisest tekitatud trajektoori muutustele. Neid viimaseid on kolme liiki: tsentrifugaaljõud on jõud, mis tasakaalustab ringjoonelisel trajektooril liikuva keha normaalkiirenduse. Et normaalkiirendus kutsub esile trajektoori kõverdumise ning sõltub keha kiirusest, on tema suurus võrdeline nurkkiiruse ruuduga: $$F_{ts}=ma_N;~~a_N={{v^2}\over r}~~~\rightarrow~~~F_{ts}={{mv^2}\over r}=m\omega^2r.$$ Coriolise jõud tekib siis, kui mingi "tükike" peab pöörleva keha (näiteks Maakera) pinnal või sees liikuma. Et keha püüab oma tangentsiaalkiirust säilitada, tuleb teda pidurdada (kui liikumine on suunatud telje poole) või kiirendada (kui keha liigub teljest eemale. Tekib liikumisega risti olev inertsijõud.	Pöörlemisvektori praktilisi rakendusi: a) pöörleva keha mingi punkti joonkiiruse $\vec v$ leidmine: $$\vec v=\vec\omega\times\vec r;$$ b) jõumomendi $\vec M$ leidmine: $$\vec M=\vec r\times\vec F$$ $\vec F$ on jäiga keha punkti $\vec r_p$ rakendatud jõud, $\vec r =\vec r_p-\vec r_{ts}$ jõu rakenduspunkti ning pöörlemistsentri kohavektorite vahe.
güroskoopilised jõud tekivad, kui püütakse muuta pöörlemistelje ruumilist orientatsiooni. Nagu eelmiste jõudude korral viib ka telje pööramine "tükikste" trajektoori muutmisele. Et igale tükikesele vastab teisel pool telge samasugune, kuid vastassuunas liikuv tükike, tekib siin inertsijõudude paar (seepärast ongi need jõud mitmuses!), mis püüab telge "õigeks" pöörata. Kui keha pöördimpulss on suur ja jõud väike, jääb tema mõju märkamatuks: pöörlev keha säilitab oma ruumilise orientatsiooni. Kui jõud on suur, hakkab keha pretsesseerima - tema telg pöördub ruumis, aga mitte mõjuvate jõudude suunas, vaid nendega risti. Tehnoloogias on olulised tsentrifugaal- ja güroskoopilised jõud, kuna nende mõju seab piiranguid pöörlevate masinaosade ehitusele. Põhjalikumalt tutvute nendega mehaanika kursuses.	Pöörleva keha käitumise määravad inertsijõud, mille tekkepõhjuseks on Newtoni I seadus - keha osade püüd säilitada ühtlast sirgjoonelist liikumist.
Pöörlemise tüübid. See, millest siiani juttu, võiks kanda nime "pöörlemine teljel". Me oletasime, et pöörlemistelg on ette määratud ning kõik meie pöörded toimusidki selle kindla telje ümber. Polegi väga vale, kuna enamikus tehnilistest seadmetest on pöörlemistelg fikseeritud võlli või laagrite abil.   Veeremine. Loodus ei tunne ei võlli ega ratast - mõlemad on inimese väljamõeldis. Küll aga esineb looduses - ja üsna tihti - nähtus, mida nimetatakse veeremiseks. Veerev keha liigub üheaegselt nii pöörlevalt kui kulgevalt, seejuures jääb tema toetuspinnaga kokkupuutev osa viimase suhtes paigale. Veeremise abil ületab loodus hõõrdejõudu: takistus veeremisel puudub, kuna pindade omavahelist nihkumist ei toimu. Kui veerev keha on telgsümmeetriline (ratas, silinder, kera), liigub pöörlemistelg kulgevalt, toetuspinnaga kokkupuutes olev osa seisab (toetuspinna suhtes) paigal, selle vastaspunkt aga liigub teljega võrreldes kahekordse kiirusega. Kui arvutada sellise veereva objekti kineetilist energiat või liikumishulka, ei tohi unustada ka pöörlemist. Näiteks saame veereva silindri kineetiliseks energiaks $$E_{kin}={{mv^2}\over 2}+{{I\omega^2}\over 2},$$	Veeremine: ratta alumine punkt seisab tee suhtes paigal, ülemine liigub kahekordse kiirusega.
ning arvestades, et silindri puhul $I=mr^2/2$ ja $\omega=v/r$, $$E_{kin}={{mv^2}\over 2}+{{{{mr^2}\over 2}\cdot \left({v\over ... ...t)^2}\over 2}= {{mv^2}\over 2}+{{mv^2}\over 4}={3\over 4}mv^2.$$	Veeremine: keha kulgliikumise kiirus v on võrdne veereva keha raadiuse r ja pöörlemiskiiruse $\omega$ korrutisega.
Analoogiliselt arutledes saame liikumishulgaks $$p=mv+I\omega=\dots$$ - aga arvutage parem ise. Ja püüdke välja mõelda, mis saab liikumishulgast kui vektorist. Ning veel üks küsimus: kumb veereb mäest alla kiiremini, kas ühtlase tihedusega monoliitne silinder või õõnessilinder?
Vaba keha pöörlemine. Kuidas hakkab aga pöörlema keha, mis pole kusagilt kinnitatud ega toetu ka pinnale? Näiteks sputnik, lennuk või helikopter. Et keha hakkaks pöörlema, peab teda mõjutama jõupaar - kaks vastassuunalist võrdset jõudu, mis ei mõju piki sama sirget. Kõige lihtsam on teha rida katseid, visates õhku näiteks risttahuka ja pannes ta samal ajal pöörlema. Juhime tähelepanu kolmele faktile: Pöörlemine ei sõltu sellest, kas jõupaar rakendub telje suhtes sümmeetriliselt või mitte; Vaba keha pöörlemistelg läbib alati masskeskme; Stabiilne pöörlemine on võimalik ainult kõige pikema või kõige lühema telje ümber. Ka selle kohta on teooria. Ükskõik missuguse kujuga keha jaoks saab arvutada nn. inertsiellipsoidi - kolmeteljelise ühtlase ainejaotusega ellipsoidi, mille inertsimomendid ükskõik millise (masskeset läbiva!) telje suhtes on võrdsed modelleeritava keha inertsimomendiga sama telje suhtes. Selle ellipsoidi kolm peatelge määravadki vaba keha stabiilse pöörlemise oleku: keha saab pöörelda vaid nende kahe telje ümber, mille suhtes tema inertsimoment on kas minimaalne (mudelellipsoidi pikim telg) või maksimaalne (lühim telg). Kui sundida vaba keha pöörlema mõne teise telje ümber (rakendades vastava suunaga jõupaari), võtab keha pärast mõningat laperdamist ruumis orientatsiooni, kus pikim/lühim telg on pööratud paralleelseks pöörlemist esile kutsuva jõupaari momendivektori $\vec M=\vec r\times\vec F$ suunaga.	Inertsiellipsoid: pikima telje a suhtes on inertsimoment minimaalne, lühima telje c suhtes maksimaalne.
Miks nii, kuulub teoreetilise mehaanika kõrgema pilotaazi valdkonda. Võite edasi mõelda. Annan ka vihje: lahendus peitub (potentsiaalse?) energia miinimumi lauses ja (pöörd)impulsi jäävuse seaduses. Keha lihtsalt ei saa teisiti pöörelda. Väga kasulik seadus. Selle abiga stabiliseeritakse kosmilisi sidesatelliite. Kokkuvõtteks: pöörlev liikumine on äärmiselt keeruline, kõigi üksikasjade suhtes puudub füüsikutel tänaseni üksmeel. Et ta on samal ajal nii looduses kui tehnikas väga levinud, tuleb tema kohta käivaid teooriaid võtta täie tõsidusega.	Stabiilne pöörlemine on võimalik vaid nende pöörlemistelgede korral, kus pöörlemise kineetiline energia on antud pöörlemiskiiruse juures ekstremaalne.

Algusesse
Sisukorda