Loeng 3. Newtoni dünaamika

  Sisukorda
Newtoni seadused Jõud, mass, liikumishulk Liikumisvõrrand Newtoni mehaanikas Liikumise diferantsiaalvõrrand Liikumisvõrrandi lahendeid

Dünaamika. Sõnaga dünaamika (kr. dynamis - jõud) nimetatakse mehaanika osa, mis kirjeldab kehade vahelise vastasmõju seost liikumisega. Põhilise osa temast annavad erinevate vastasmõju liikide (eri tüüpi jõudude) matemaatilise formuleerimise ning vastavate (teist järku!) diferentsiaalvõrrandite lahendamise probleemid.   Newtoni seadused. Klassikalise dünaamika aluseks on kolm Newtoni poolt formuleeritud seadust. Newton oma 1687. a. ilmunud teoses Loodusfilosoofia matemaatilised printsiibid (Philosophiae naturalis principia mathematica) püüdis füüsikat üles ehitada klassikalise geomeetria kombel, tuletades kõigi talle teada olevate nähtuste kirjeldused kolmest põhipostulaadist. Koolifüüsika formuleeringus oleksid need (nn. Newtoni seadused):	Dünaamika ülesandeks on: leida kehade vastasmõjule matemaatiline esitus; lahendada saadud diferentsiaalvõrrand
Iga keha seisab paigal või liigub ühtlaselt sirgjooneliselt kui talle ei mõju teised kehad või kui nende kehade mõjud kompenseeruvad. Keha kiirendus on võrdeline talle mõjuva jõuga ning pöördvõrdeline keha massiga. Kaks keha mõjutavad teineteist alati jõududega, mis on suuruselt võrdsed ja suunalt vastupidised.	Newtoni seadused tuleb pähe õppida.
Et tegu on kogu füüsika seisukohalt äärmiselt olulise momendiga, anname ka Newtoni originaal-formuleeringud: Iga keha säilitab oma oleku kas paigalseisu või ühtlase sirgjoonelise liikumise kujul seni, kuni temale rakenduvad jõud seda olekut ei muuda. Liikumishulga muutus on võrdeline kehale mõjuva jõuga ning toimub samas suunas mõjuva jõuga. Jõud esinevad ainult paariti: iga mõjuga kaasneb alati niisama suur, kuid vastassuunaline vastumõju.	NB! Newtoni II ja III seadus käsitlevad jõudu kui vektorit! Matemaatikast: Väide "suurus A on võrdeline suurusega B" tähendab seda, et neist ühe (näiteks A) suurendamine mingi arv korda toob endaga kaasa teise (B) suurnemise sama arv korda
Jõud, mass, liikumishulk. Jätkame keeleõpet. Jõud ja liikumine on meil juba defineeritud, samuti mõiste "keha". Ära tuleb seletada mass ja liikumishulk. Mass on keha inertsuse mõõt; ta väljendub vastupanus (liikumis)oleku muutumisele väliste jõudude toimel. Liikumishulk e. impulss on (liikumis)olekut kirjeldav suurus , mis defineeritakse kui keha massi ja liikumiskiiruse korrutis. Nagu näeme, toetuvad mõlemad mõisted samale nähtusele -- kehade inertsusele (ld. inertia -- loidus, laiskus) kui võimele säilitada oma olek. Staatikas tulenes oleku muutumatus jõudude tasakaalust - nii ka dünaamikas, puudub vaid paigalseisu nõue. Seega on dünaamika seisukohalt tasakaaluolekuks ka ühtlane sirgliikumine, paigalseis (kiiruse võrdumine nulliga) on üksnes selle erijuht.
Mida see "mass" endast kujutab, on niisama mõttetu küsimus, kui probleem aja või ruumi olemusest. Newtoni järgi on mass "ainehulga mõõt, mis kujuneb võrdeliselt tiheduse ja ruumalaga". Selle "massi" mõõtmiseks kasutati juba enne Newtonit kehade kaalumist, st. aine hulga määramist temale mõjuva raskusjõu abil. Raskusjõud (jõud, millega Maa tõmbab külge tema pinnal olevaid esemeid) on millegipärast võrdeline täpselt sama massiga, mis läheb Newtoni teise (inertsi)seadusesse.	Mass on aja ja pikkuse (ruumilise ulatuse) kõrval kolmas mehaanika põhisuurus.
Kordan veel kord: füüsika ei seleta, vaid kirjeldab loodust. Newtoni seadused, aga ka kõik järgnevas kursuses õpitav, on loodusnähtuste matemaatiline kirjeldus. Selliseid kirjeldusi on ajaloo jooksul tehtud igasuguseid, meie õpime ja kasutame vaid neid, mis on ajaproovile vastu pidanud ja mis annavad kasulikke rakendusi. Massi ühikuks on kilogramm (kg): 1 kilogramm on ühe kuupdetsimeetri ($10^{-3}m^3$) puhta vee mass temperatuuril $4^\circ$C ja rõhul 1.013 MPa. Kilogrammi etalooniks on plaatinast silinder, mida hoitakse Rahvusvahelise Kaalude ja Mõõtude Büroos Pariisis. Et kaalumine - kaalude võrdlemine - on tehniliselt lihtsasti korraldatav ja väga täpne mõõtmise liik, kasutatakse igapäevaelus ainehulga määrajana just massi.	Mass on ainus tänapäeval kasutusel olev suurus, mille etalooniks on mitte arvutuseeskiri, vaid reaalne keha. SI süsteemi ühikud jagunevad põhiühikud - siin meeter, sekund, kilogramm tuletatud ühikud - siin näiteks njuuton Tuletatud suuruse dimensioon on tema avaldis põhiühikute kaudu.
Jõu ühik rahvusvahelises süsteemis SI on tuletatud Newtoni II seadusest. Seadus ütleb, et kiirendus on võrdeline jõuga - seega peaks valemis olema võrdetegur - konstantne kordaja, millega korrutatakse jõu ja massi suhet. Kui valida jõu ühik nii, et võrdetegur oleks võrdne ühega, saaksime lihtsaima valemi. Nii ka toimitakse. Jõu ühikuks on njuuton (N) 1 njuuton on jõud, mis annab ühe kilogrammise massiga kehale kiirenduse üks meeter sekundis sekundi kohta. Njuutoni dimensioon - väljend põhiühikute (meeter, sekund, kilogramm) kaudu on $ms^{-2}kg$ ehk $mkg/s^2$.	Jõu ühik - njuuton - on nimetatud klassikalise mehaanika rajaja Isaac Newtoni nime järgi. Reegel on, et selliste ühikute tähis algab suure tähega, nende eestikeelne nimetus aga kirjutatakse vastavalt originaalkeele hääldusele.
Liikumisvõrrand Newtoni mehaanikas. Tuletame meelde: kinemaatikas tähendas liikumisvõrrand keha asukoha ($\vec r$) sõltuvust ajast. Seda sõltuvust võib väljendada ruutpolünoomina $$\vec r(t)=\vec r_0+\vec v_0t+{{\vec a}\over 2}t^2,$$ kus $\vec r_0$, $\vec v_0$ ja $\vec a$ on konstantsed vektorid. See võrrand kujutab ühtlaselt muutuvat (kiirenevat või aeglustuvat) liikumist (kuna kiirendusvektor $\vec a$ on konstantne). Newtoni II seaduse kohaselt sõltub kiirendus kehale mõjuvast jõust, mis omakorda võib olla ajas muutuv suurus. Võrrandist $$\vec a={1\over m}\vec F$$	Newtoni dünaamikas kasutatavad tähised: skalaarid: m - mass. t - aeg vektorid: s - nihe v - kiirus a - kiirendus F - jõud p - impulss, =mv
on näha, et kiirendus on konstantne siis, kui jõud $\vec F$ on konstantne. Kui $\vec F=0$, on kiirendus null ja keha liigub ühtlaselt või seisab paigal. Aga just seda väidab Newtoni I seadus: kui teiste kehade mõju puudub või need kompenseeruvad, ongi $\sum \vec F_i=0$
Mida hakata peale Newtoni III seadusega? Kui uuritakse ainult ühe keha liikumist ja teda mõjutavad kehad meid ei huvita, võime nad vaatluse alt välja jätta. Kui tegu on kehade süsteemiga (aga igasugune mehhanism on tegelikult kehade süsteem) tuleb seadust arvestada. Kui autoga paigalt võttes anname sidurit vabastades gaasi, rakendame tegelikult Newtoni III seadust: samal ajal, kui siduri üks ketas pöörab käigukasti kaudu auto rattaid, mõjub teisele kettale vastassuunaline (mootori pöörlemist pidurdav) jõud. See tuleb kompenseerida täiendava võimsuse lisamisega (gaasi andmisega), vastasel juhul sureb mootor välja. Newton polnud esimene, kes matemaatika abil liikumist uuris. Seda tegid ka vana-aja mehaanikud Heron, Archimedes jt. Liikumise ja selle põhjuste üle murdsid pead Leonardo da Vinci, Galileo Galilei, Evangelista Torricelli, Rene Descartes ja paljud nende kaasaegsed. Newtoni süsteem ületas kõiki neid varasemaid katseid oma universaalsusega, võimalike järelduste ja rakenduste tohutu hulgaga. See, et me teda tänaseni õpime, näitab ainult üht: midagi paremat pole inimkond viimase 300 aasta jooksul välja mõelnud.	Newtoni III seadus. Hõõrdejõud on tasakaalus niidi pingega, niidi pinge raskusjõuga.
Miks? Kohe näeme.   Liikumise diferentsiaalvõrrand. Mida teha aga juhul, kui jõud on muutuv suurus? Esimene mõte: paneme oma liikumisvõrrandis-polünoomis kiirenduse $\vec a$ asemele $\vec F(t)/m$ ja saamegi "muutuva jõuga võrrandi". Kui see nii lihtne oleks! Juba käesolevas loengus näeme, et kehade vastasmõju sõltub pigem nende vastastikusest asendist kui ajast. Kui räägime "muutuvast jõust", ei mõtle me mitte funktsiooni $\vec F(t)$, vaid $\vec F=f(t,\vec r,\vec v, \dots)$ ... Aga liikumisvõrrand nõuab vaid üht - keha asukoha sõltuvust ajast.	Liikumisvõrrandi leidmise teeb keeruliseks asjaolu, et uuritavale kehale mõjuv jõud sõltub tavaliselt nii keha asukohast kui kiirusest.
Siin tulebki appi diferentsiaalarvutus. Kui võtta ajavahemik nii lühike, et jõud "samahästi kui ei muutu", võime liikumise lugeda ühtlaselt muutuvaks. Me võime kasutada Newtoni II seaduse valemit $$\vec a={1\over m}\vec F   \Longrightarrow   \ddot{\vec r}\equiv {{d^2\vec r}\over{dt^2}}={1\over m}\vec F.$$ See on teist järku diferentsiaalvõrrand. Me võime kirjutada ta koordinaate pidi lahti (tehke seda!), sööta arvutisse (MathCAD sööb teda hea meelega) ja mõnel lihtsal juhul ka integreerida - viia kujule, mis rahuldab liikumisvõrrandi üldkuju $\vec r=f(t)$.   Liikumisvõrrandi lahendeid. Füüsikaülesannetes sageli esinevad jõudude tüübid on loomulikult ammu läbi rehkendatud. Toome järgnevalt mõned näited sellest, kuidas käitub liikumise diferentsiaalvõrrand meile tuttavate jõudude korral. Vaatame, kas lahendid tulevad tuttavad ette. See, et kasutatakse ühemõõtmelisi liikumisi, ei tohiks teid enam häirida - oletame, et tegu on näiteks kolmemõõtmelise vektorvõrrandi ühe komponendi käitumisega. Teised käituvad samamoodi.
a) Kui jõud on null, on võrrandiks $\ddot x=0$ Integreerides saame: $${{d\over{dt}}\left({{dx}\over{dt}}\right)}=0  \Rightarrow   {{dx}\over{dt}}=v_{0x}=const$$ $$dx=v_{0x}dt  \Rightarrow  x=\int v_{0x}dt=v_{0x}t+x_0.$$ Siin $v_{0x}$ ja $x_0$ on integreerimiskonstandid; nad võrduvad kiiruse x-komponendi ning keha x-koordinaadi väärtustega ajahetkel $t=0$.	Jõudude puudumisel või nende summa võrdumisel nulliga liigub keha ühtlaselt (muutumatu kiirusega).
Kui oskate matemaatikat (eksam tehtud?), näidake seda.
b) Kui jõud on konstantne (raskusjõud: $F=mg$, hõõrdejõud: $F=\mu P$), on võrrandi lahendiks meie poolt kinemaatika osas kirjeldatud ning praktikumis proovitud polünoom $$x=x_0+v_{0x}t+{{a_x}\over 2}t^2;    a_x={1\over m}F_x.$$ Proovige lahendada difvõrrand konstantse nullist erineva jõu puhul, kasutades eelmises punktis esitatud võtteid.	Konstantse jõu korral keha kiirus kasvab või kahaneb ühtlaselt (muutumatu kiirendusega).
c) Kui jõud sõltub ainuüksi ajast, pannakse polünoomi ruutliikmesse ajast sõltuv kiirendus $a(t)=F(t)/m$.	Ajast sõltuva jõu korral saame liikumisvõrrandi, kui asendame ühtlaselt muutuva liikumise valemis kiirenduse Newtoni II seadusest. Vt. ülesanded!
d) Kui jõud on võrdeline nihkega (näiteks elastsusjõud $F=-kx$), või kiirusega (näiteks takistusjõud $F=-bv$) tekib väga huvitav võrrand: $$\ddot x\equiv {{d^2x}\over{dt^2}}={{b\dot x+kx}\over m},$$ mille üheks lahendiks on sumbuvad võnkumised. Võrrandil on paljudel juhtudel ilus algebralis-trigonomeetriline lahend, numbriliselt (arvutiga) on ta kergesti integreeritav. Matemaatikutel on selliste võrrandite kohta terve teooria.	Nihkega võrdeline, kuid vastassuunaline jõud kutsub esile võnkumised. Kiirusega vastassuunaline jõud peatab liikumise või viib võnkumiste sumbumisele.
e) Kui jõud on pöördvõrdeline nihke või selle ruuduga (näiteks gravitatsioonijõud $F=\gamma m_1m_2/r^2$), tekivad nn. väljavõrrandid. Aga sellest juba järgmises loengus.

* Sisukorda *