MARGAPUU MATEMAATILINE MUDEL

ehk

SISSEJUHATUS INSENERIFÜÜSIKASSE.

Sissejuhatus.  Töötan füüsikakprofessorina EestiPõllumajandusülikooli Tehnikateaduskonnas. Igal sügisel ootab mind sadakondnoort, kellest enamus vihkab nii füüsikat kui matemaatikat, kuid sellelevaatamata soovib saada inseneriks.

Minu esmaseks ülesandeks on näidata, et seeon võimatu. Ainuüksi sõnadega ei tee siin midagi, seepärast tuleb kõigepealtnäidata täppisteadusliku mõtteviisi kasulikkust, seejärel aga üle saadagümnaasiumist kaasa toodud hirmust matemaatilise mõtteviisi ees.

Viimasel kahel aastal olen kursustalustanud ühe praktilise näitega, kus suhteliselt primitiivse ülesandelahendamisel kasutatakse füüsikalis-matemaatilise lähenemisviisi kõikitähtsamaid elemente. Proovin seda alljärgnevas kirjeldada – uskudes, etülaltoodud probleemiga on kokku puutunud teisedki füüsikaõpetajad,

Margapuu. Objektiks, mille matemaatilist kirjeldust me üritame luua, onmargapuu - tuntud kaalumisvahend, mida Euroopas kasutatakse vähemalt 2000aastat. Eesti taludes oli veel möödunud (20.) sajandi esimesel poolel laialtlevinud margapuu "kodukootud" variant, kus kaalumine viidi läbi"puud" ülal hoidva silmuse nihutamisega tasakaalupunkti. Selliseidkunstipäraselt viimistletud mõõtevahendeid on hulgaliselt nii Eesti Rahva Muuseumis kui ka Põllumajandusmuuseumis.

Margapuu valmistati käepärasestmaterjalist: puitlati ühte otsa kinnitati konks kaalutava eseme riputamiseks,teise otsa vastukaal. Seade "kalibreeriti" kohaliku kaupmehe juures,lüües kaaluvihtide tasakaalustamise abil leitud punktidesse vihi massile vastavarv naelu. Meetermõõdustiku-eelseid kaaluühikuid nimetatakse eesti keelestänaseni sõnaga "nael", eristades seejuures päritolumaad (inglisenael = pound, vene nael = funt).

Ülesandeks on leida valem (koostadaarvutiprogramm), mille abil oleks võimalik valmistada etteantud parameetrite(mass, pikkus) järgi margapuu, mis oleks matemaatiliselt kalibreeritav. Seetähendab, olemas peab olema valem või programm kaalumärkide - "naelte" - asukohtade määramiseks).

Empiirilinelähend. Alustuseks valmistame margapuu. Materjaliks on puitlatt pikkusega l , vastukaaluna poolik tellismassiga M.

Joonis1. Endisaegne margapuu ja selle õppeotstarbeline mudel

Kruvime lati ühe otsa sisse konksu, teiseotsa külge kinnitame kleeplindiga pooliku tellise. Et koormiste kaal rakendublati otsale, kinnitame ka tellise nii, et latt ulatuks selle keskkohani.Seejärel riputame konksu külge kaaluvihte, tasakaalustame lati ning märgimetasakaalupunktid vastava arvu naeltega. Selliselt kalibreeritud margapuu abilsaab kaaluda suvalisi esemeid suhtelise veaga 5% ringis.

Just niiviisi valmistati margapuid umbes150 aastat tagasi. Tänapäeva insener peab olema suuteline andma selle"toote" projekt-dokumentatsiooni, mis on piisav, et selle järgivalmistatud seade etteantud täpsusega tööle hakkaks. Kriitiliseks osutub antudülesande juures see, kas me oskame anda valemit kaalumärkide (naelte)asukohtade arvutamiseks.

Näeme, et naelte vahelised kaugused vähenevadkoormuse suurenemisel (tasakaalupunkti nihkumisel konksu poole). Taolistskaalat nimetatakse mittelineaarseks ning teda peetakse mõõteriistade teooriasebasoovitavaks. Klassikaline "rooma margapuu" on sellest veast vaba,kuid teda on kaunis raske kodusel teel valmistada.

Lahendame ülesande graafiliselt, kandesabstsissteljele koormuse massi ning ordinaatteljele tasakaalupunkti kaugusekonksust. Kujunev funktsioon on mittelineaarne; ei aita ka graafiku üleviiminelogaritmilisse teljestikku - seega ei sobi ka astmefunktsioon.

Võime proovida mingitinterpolatsioonivalemit, näiteks kuupsplaini. Tulemus on hea - aga kehtibüksnes konkreetse margapuu korral. Kui muudame lati pikkust või vastukaalumassi, tulevad splaini kordajad sootuks teistsugused.

Otsimeabi Archimedeselt. Tekkinud probleemi saab lahendada,toetudes füüsika-alastele teadmistele. Kangi tasakaalu valem

mille formuleeris enam kui kaksaastatuhandet tagasi Kreeka mõttetark Archimedes, on koolifüüsikast piisavalthästi teada. Tähistades tasakaalupunkti kauguse konksust x, lati pikkuse lning vastukaalu (tellise) massi M, saame, kasutades kaalu valemit P =mg valemi:

millest

Seega on märgi kaugus konksustpöördvõrdeline mitte koormuse massiga, vaid koormuse ja vastukaalu masside summaga.Kui panna logaritmilises skaalas tehtud joonisel abstsissiks mitte

lg m , vaidlg (m+ M ) , lähevad meie poolt mõõdetud punktid ilusti sirgele.

Siintoodu on piisav illustreerimaks füüsikavajalikkust inseneriasjanduses. Leitud valemit on samahästi kui võimatutuletada empiiriliselt; ta on küll leitud katsest, aga need katsed on tehtudsootuks teisel eesmärgil ja teistsuguse metoodikaga. Oletus, et märgi kaugus onpöördvõrdeline koormuse ning vastukaalu massidesummaga, on väljaspool tavaloogikat ning temani võib jõuda üksnesteoreetilist laadi üldistuse kaudu.

Rakendamekõrgemat matemaatikat. Kui täpne on meie lahend? Archimedese seadus on idealisatsioon, takehtib üksnes kaalutu kangi ning selle otstesse rakendatud jõuvektorite kohta.Reaalse margapuu korral mõjutab lati kaal tasakaalupunkti asendit, sama võiböelda vastukaalu kuju ja asukoha kohta.

Meie katses oli vastukaal (poolik tellismassiga 2 kg) üle 10 korra raskem latist ja seetõttu võis viimase massiarvestamata jätta. Võtame vastukaaluks väiksema massiga eseme (puuklotsi) ningkalibreerime margapuu uuesti, nüüd juba suurema täpsusega. Püüame rakendadavalemit (2) ja võrdleme selle abil leitud tasakaalupunktide asukohtikatseliselt määratud punktidega. Arvutame nende erinevuse
x = x _mõõdetud – x _arvutatud:

Torkab silma seaduspärasus: väikese massi korral (kuni punktini m= 400) on arvutatud punktid konksule lähemal ( x > 0 ) suurte masside puhul aga kaugemal ( x < 0 )  Selge, et tasakaalu mõjutab lati kaal.Kuidas seda arvestada?

Eeldame, et kuulajad on tuttavaddiferentsiaalarvutuse algtõdedega. Jagame lati lõpmata väikesteks juppidekspikkusega dx_i , igaselline jupike kallutab latti jõuga dF =gdm ; kuna selle jõu õlg võrdubjupikese kaugusega toetuspunktist x_i - x, on tema moment toetuspunkti suhtes gdm(x_i - x).Toome sisse integreerimismuutuja ja avaldame selle pikkuselevastava massielemendi dm lati massi m_L  ja pikkuse l kaudu:

Kõigi selliste latijuppide momendid tulebliita Archimedese valemi paremale poolele; nende summa tähendab integraali

Tasakaaluvõrrand (1) saab nüüd kuju

millest

Võrdleme tulemust "ideaalsemargapuu" lahendiga (2). Näeme, et nimetajasse on lisandunud lati mass,lugejas olevas konstandis on mass kasvanud poole lati massi võrra.

Kastulemus on tõepärane? Matemaatiline mudel - olgu võivalemi kujul - on inseneri jaoks võimas abivahend. Aga enne, kui asuda tulemust"rauas" realiseerima, tuleb kontrollida, kuivõrd selline mudeltöötab.

Lihtsaim võimalus on arvutada teoreetilisedpunktid uuesti ning võrrelda seda katsest leitud kaugustega. Tulemus pole küllideaalne, kuid erinevused on vaid sajandik otsitavast suurusest.

Lahendi tõepära kontrolliks on ka teisivõimalusi. Matemaatikud kasutavad näiteks "piirjuhte", kus lati massvõetakse kas nulliks (peab viima "Archimedese lahendile") või lõpmatasuureks (kuna nii mõõdetav mass kui vastukaal on sel juhul lati massigavõrreldes tühised, peab tasakaalupunkt asuma poole lati kohal: x = 0.5l ).

Teeme seda. Esimesel juhul tuleb nulliksvõtta m_L teiseljuhul kõik massid peale m_L .

Kaslihtsamalt ei saa? Jah,selle ülesandega saab hakkama ka kõrgema matemaatika abita.

Võtame "ideaalse margapuu" valemi(2) ja leiame talle lati massist tuleneva parandi sel teel, et jagame latikolme ossa: vasak õlg pikkusega x, parema õla see osa, mis on vasakugatasakaalus (kauguseni 2 x) ja tasakaalustamata jupp pikkusega l– 2 x.Viimase kaalu poolt tekitatav moment tulebki liita "Archimedeselahendi" paremasse poolde.

Teeme seda "algkooli tasemel".Kõigepealt jupi mass:

    l meetrit m_L  kilogrammi;

(l– 2x) meetrit m_x kilogrammi.

ehk

Seejärel õla pikkus:

Vaat see oli üllatus! Tuleb välja, ettasakaalustamata latijupi õlg - keskkoha kaugus tasakaalupunktist - on alatipool lati pikkust.

Korrutame leitud suurused omavahel. Saame

nagu valemis (4) pärast g-ga jagamist.

Milleks siis kogu see matemaatika? Tõsi,enamust praktilisi ülesandeid saab lahendada ilma kõrgema matemaatika abita,kasutades nelja põhitehet ning toetudes tervele mõistusele. Ka paljud füüsikaseadused on intuitiivselt tajutavad.

Aga - matemaatikal on intuitiivse loogikagavõrreldes kaks hindamatut eelist. Iga matemaatiline tulemus kehtib lisaks tedaesile kutsunud ülesandele kõigil neil juhtudel, kus ülesande käigus kujunevadsama tüüpi võrrandid. Ja veel: matemaatiline tulemus sisaldab endas meetodit, mis on (matemaatiliselt!)edasi arendatav ning annab meile võimaluse modelleerida järjest uusi olukordi.

Aga milleks see jutt? Tuleme tagasi omaintegraali (täpsemalt – diferentsiaalvõrrandi!) (4) juurde ja formuleerime sootuks teist laadi probleemi:milline peaks olema lati geomeetria, et saada lineaarse skaalaga margapuu?

Aga see on juba sootuks uus ülesanne.