MARGAPUU MATEMAATILINE MUDEL

ehk

SISSEJUHATUS INSENERIFÜÜSIKASSE.

Sissejuhatus. Töötan füüsikakprofessorina Eesti Põllumajandusülikooli Tehnikateaduskonnas. Igal sügisel ootab mind sadakond noort, kellest enamus vihkab nii füüsikat kui matemaatikat, kuid sellele vaatamata soovib saada inseneriks.

Minu esmaseks ülesandeks on näidata, et see on võimatu. Ainuüksi sõnadega ei tee siin midagi, seepärast tuleb kõigepealt näidata täppisteadusliku mõtteviisi kasulikkust, seejärel aga üle saada gümnaasiumist kaasa toodud hirmust matemaatilise mõtteviisi ees.

Viimasel kahel aastal olen kursust alustanud ühe praktilise näitega, kus suhteliselt primitiivse ülesande lahendamisel kasutatakse füüsikalis-matemaatilise lähenemisviisi kõiki tähtsamaid elemente. Proovin seda alljärgnevas kirjeldada – uskudes, et ülaltoodud probleemiga on kokku puutunud teisedki füüsikaõpetajad,

Margapuu. Objektiks, mille matemaatilist kirjeldust me üritame luua, on margapuu - tuntud kaalumisvahend, mida Euroopas kasutatakse vähemalt 2000 aastat. Eesti taludes oli veel möödunud (20.) sajandi esimesel poolel laialt levinud margapuu "kodukootud" variant, kus kaalumine viidi läbi "puud" ülal hoidva silmuse nihutamisega tasakaalupunkti. Selliseid kunstipäraselt viimistletud mõõtevahendeid on hulgaliselt nii Eesti Rahva Muuseumis kui ka Põllumajandusmuuseumis.

Margapuu valmistati käepärasest materjalist: puitlati ühte otsa kinnitati konks kaalutava eseme riputamiseks, teise otsa vastukaal. Seade "kalibreeriti" kohaliku kaupmehe juures, lüües kaaluvihtide tasakaalustamise abil leitud punktidesse vihi massile vastav arv naelu. Meetermõõdustiku-eelseid kaaluühikuid nimetatakse eesti keeles tänaseni sõnaga "nael", eristades seejuures päritolumaad (inglise nael = pound, vene nael = funt).

Ülesandeks on leida valem (koostada arvutiprogramm), mille abil oleks võimalik valmistada etteantud parameetrite (mass, pikkus) järgi margapuu, mis oleks matemaatiliselt kalibreeritav. See tähendab, olemas peab olema valem või programm kaalumärkide - "naelte" - asukohtade määramiseks).

Empiiriline lähend. Alustuseks valmistame margapuu. Materjaliks on puitlatt pikkusega l , vastukaaluna poolik tellis massiga M.

Joonis 1. Endisaegne margapuu ja selle õppeotstarbeline mudel

Kruvime lati ühe otsa sisse konksu, teise otsa külge kinnitame kleeplindiga pooliku tellise. Et koormiste kaal rakendub lati otsale, kinnitame ka tellise nii, et latt ulatuks selle keskkohani. Seejärel riputame konksu külge kaaluvihte, tasakaalustame lati ning märgime tasakaalupunktid vastava arvu naeltega. Selliselt kalibreeritud margapuu abil saab kaaluda suvalisi esemeid suhtelise veaga 5% ringis.

Just niiviisi valmistati margapuid umbes 150 aastat tagasi. Tänapäeva insener peab olema suuteline andma selle "toote" projekt-dokumentatsiooni, mis on piisav, et selle järgi valmistatud seade etteantud täpsusega tööle hakkaks. Kriitiliseks osutub antud ülesande juures see, kas me oskame anda valemit kaalumärkide (naelte) asukohtade arvutamiseks.

Näeme, et naelte vahelised kaugused vähenevad koormuse suurenemisel (tasakaalupunkti nihkumisel konksu poole). Taolist skaalat nimetatakse mittelineaarseks ning teda peetakse mõõteriistade teoorias ebasoovitavaks. Klassikaline "rooma margapuu" on sellest veast vaba, kuid teda on kaunis raske kodusel teel valmistada.

Lahendame ülesande graafiliselt, kandes abstsissteljele koormuse massi ning ordinaatteljele tasakaalupunkti kauguse konksust. Kujunev funktsioon on mittelineaarne; ei aita ka graafiku üleviimine logaritmilisse teljestikku - seega ei sobi ka astmefunktsioon.

Võime proovida mingit interpolatsioonivalemit, näiteks kuupsplaini. Tulemus on hea - aga kehtib üksnes konkreetse margapuu korral. Kui muudame lati pikkust või vastukaalu massi, tulevad splaini kordajad sootuks teistsugused.

Otsime abi Archimedeselt. Tekkinud probleemi saab lahendada, toetudes füüsika-alastele teadmistele. Kangi tasakaalu valem

mille formuleeris enam kui kaks aastatuhandet tagasi Kreeka mõttetark Archimedes, on koolifüüsikast piisavalt hästi teada. Tähistades tasakaalupunkti kauguse konksust x, lati pikkuse l ning vastukaalu (tellise) massi M, saame, kasutades kaalu valemit P = mg valemi:

millest

Seega on märgi kaugus konksust pöördvõrdeline mitte koormuse massiga, vaid koormuse ja vastukaalu masside summaga. Kui panna logaritmilises skaalas tehtud joonisel abstsissiks mitte

lg m , vaid lg (m + M ) , lähevad meie poolt mõõdetud punktid ilusti sirgele.

Siintoodu on piisav illustreerimaks füüsika vajalikkust inseneriasjanduses. Leitud valemit on samahästi kui võimatu tuletada empiiriliselt; ta on küll leitud katsest, aga need katsed on tehtud sootuks teisel eesmärgil ja teistsuguse metoodikaga. Oletus, et märgi kaugus on pöördvõrdeline koormuse ning vastukaalu masside summaga, on väljaspool tavaloogikat ning temani võib jõuda üksnes teoreetilist laadi üldistuse kaudu.

Rakendame kõrgemat matemaatikat. Kui täpne on meie lahend? Archimedese seadus on idealisatsioon, ta kehtib üksnes kaalutu kangi ning selle otstesse rakendatud jõuvektorite kohta. Reaalse margapuu korral mõjutab lati kaal tasakaalupunkti asendit, sama võib öelda vastukaalu kuju ja asukoha kohta.

Meie katses oli vastukaal (poolik tellis massiga 2 kg) üle 10 korra raskem latist ja seetõttu võis viimase massi arvestamata jätta. Võtame vastukaaluks väiksema massiga eseme (puuklotsi) ning kalibreerime margapuu uuesti, nüüd juba suurema täpsusega. Püüame rakendada valemit (2) ja võrdleme selle abil leitud tasakaalupunktide asukohti katseliselt määratud punktidega. Arvutame nende erinevuse
x = x _mõõdetud – x _arvutatud :

Torkab silma seaduspärasus: väikese massi korral (kuni punktini m = 400) on arvutatud punktid konksule lähemal ( x > 0 ) suurte masside puhul aga kaugemal ( x < 0 ) Selge, et tasakaalu mõjutab lati kaal. Kuidas seda arvestada?

Eeldame, et kuulajad on tuttavad diferentsiaalarvutuse algtõdedega. Jagame lati lõpmata väikesteks juppideks pikkusega dx_i , iga selline jupike kallutab latti jõuga dF = gdm ; kuna selle jõu õlg võrdub jupikese kaugusega toetuspunktist x_i - x , on tema moment toetuspunkti suhtes gdm(x_i - x). Toome sisse integreerimismuutuja ja avaldame selle pikkusele vastava massielemendi dm lati massi m_L ja pikkuse l kaudu:

Kõigi selliste latijuppide momendid tuleb liita Archimedese valemi paremale poolele; nende summa tähendab integraali

Tasakaaluvõrrand (1) saab nüüd kuju

millest

Võrdleme tulemust "ideaalse margapuu" lahendiga (2). Näeme, et nimetajasse on lisandunud lati mass, lugejas olevas konstandis on mass kasvanud poole lati massi võrra.

Kas tulemus on tõepärane? Matemaatiline mudel - olgu või valemi kujul - on inseneri jaoks võimas abivahend. Aga enne, kui asuda tulemust "rauas" realiseerima, tuleb kontrollida, kuivõrd selline mudel töötab.

Lihtsaim võimalus on arvutada teoreetilised punktid uuesti ning võrrelda seda katsest leitud kaugustega. Tulemus pole küll ideaalne, kuid erinevused on vaid sajandik otsitavast suurusest.

Lahendi tõepära kontrolliks on ka teisi võimalusi. Matemaatikud kasutavad näiteks "piirjuhte", kus lati mass võetakse kas nulliks (peab viima "Archimedese lahendile") või lõpmata suureks (kuna nii mõõdetav mass kui vastukaal on sel juhul lati massiga võrreldes tühised, peab tasakaalupunkt asuma poole lati kohal: x = 0.5l ).

Teeme seda. Esimesel juhul tuleb nulliks võtta m_L teisel juhul kõik massid peale m_L .

Kas lihtsamalt ei saa? Jah, selle ülesandega saab hakkama ka kõrgema matemaatika abita.

Võtame "ideaalse margapuu" valemi (2) ja leiame talle lati massist tuleneva parandi sel teel, et jagame lati kolme ossa: vasak õlg pikkusega x, parema õla see osa, mis on vasakuga tasakaalus (kauguseni 2 x ) ja tasakaalustamata jupp pikkusega l – 2 x. Viimase kaalu poolt tekitatav moment tulebki liita "Archimedese lahendi" paremasse poolde.

Teeme seda "algkooli tasemel". Kõigepealt jupi mass:

l meetrit m_L kilogrammi;

(l – 2x) meetrit m_x kilogrammi.

ehk

Seejärel õla pikkus:

Vaat see oli üllatus! Tuleb välja, et tasakaalustamata latijupi õlg - keskkoha kaugus tasakaalupunktist - on alati pool lati pikkust.

Korrutame leitud suurused omavahel. Saame

nagu valemis (4) pärast g-ga jagamist.

Milleks siis kogu see matemaatika? Tõsi, enamust praktilisi ülesandeid saab lahendada ilma kõrgema matemaatika abita, kasutades nelja põhitehet ning toetudes tervele mõistusele. Ka paljud füüsika seadused on intuitiivselt tajutavad.

Aga - matemaatikal on intuitiivse loogikaga võrreldes kaks hindamatut eelist. Iga matemaatiline tulemus kehtib lisaks teda esile kutsunud ülesandele kõigil neil juhtudel, kus ülesande käigus kujunevad sama tüüpi võrrandid. Ja veel: matemaatiline tulemus sisaldab endas meetodit, mis on (matemaatiliselt!) edasi arendatav ning annab meile võimaluse modelleerida järjest uusi olukordi.

Aga milleks see jutt? Tuleme tagasi oma integraali (täpsemalt – diferentsiaalvõrrandi!) (4) juurde ja formuleerime sootuks teist laadi probleemi: milline peaks olema lati geomeetria, et saada lineaarse skaalaga margapuu?

Aga see on juba sootuks uus ülesanne.