Loeng 15. Lisatekst

Euleri valem

Võnkumiste ja lainetega seotud matemaatiliste probleemide lahendamisel kasutame sageli seost

$$e^{i\omega t}=\cos{\omega t}(+i\sin{\omega t}),$$

mida matemaatikud tunnevad Euleri võrrandite nime all. Mitmus on selle pärast, et tavaliselt käivad need võrrandid paarikaupa, teine on

$$e^{-i\omega t}=\cos{\omega t}-i\sin{\omega t}.$$

Võrranditel on hea omadus: nad lubavad kasutada paljudes valemites trigonomeetriliste funktsioonide asemel eksponentfunktsiooni. Seda aga on võrratult lihtsam korrutada ja jagada, integreerimisest rääkimata. Vajadusel saab kergesti tagasi trigonomeeetriliste funktsioonide juurde minna - kui selline vajadus üldse tekib. Elektriinsenerid teevad suure osa oma rehkendustest nagunii kompleksarvudes.

Euleri valemid põhinevad astmeridade teoorial. Kinemaatika osas, liikumisvõrrandi tuletamisel, rääkisime otsitava valemi arendamisest nn. Maclaurini ritta:

$$f(x)=f(0)+x{{f'(0)}\over {1!}}-x^2{{f''(0)}\over{2!}}+\dots+x^n{{f^{(n)}(0)}\over{n!}}+\dots$$

Teeme seda nüüd kolme funktsiooniga:

$$e^{x}=1+{x\over{1!}}+{{x^2}\over{2!}}+\dots +{{x^n}\over{n!}}+\dots$$

$$\sin x={x\over{1!}}-{{x^3}\over{3!}}+{{x^5}\over{5!}}-\dots +{{(-1)^nx^{2n+1}}\over{(2n+1)!}}+\dots ,$$

kuna
$(\sin x)'=\cos x$   $(\sin x)''=-\sin x$
$\sin 0=0$ ja $\cos 0=1$.

Analoogiliselt saame

$$\cos x=1-{{x^2}\over{2!}}+{{x^4}\over{4!}}-\dots +{{(-1)^nx^{2n}}\over{(2n)!}}+\dots$$

Ja nüüd arendame ritta imaginaarse astendajaga eksponendi:

$$e^{ix}=1+{{ix}\over{1!}}+{{i^2x^2}\over{2!}}+{{i^3x^3}\over{3!}}+\dots=$$

$$=\left(1-{{x^2}\over{2!}}+{{x^4}\over{4!}}-{{x^6}\over{6!}}\d... ...{{x^3}\over{3!}}+{{x^5}\over{5!}}-{{x^7}\over{7!}}+\dots\right)$$

Rühmitamisel on eksponentfunktsioonile vastavas reas eraldatud reaal- ja imaginaarosad. Kui võrrelda seda trigonomeetriliste funktsioonide ritta-arendustega, näeme, et (vaatamata ridade lõpmatusele, aga miks?) on

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x.$$

See ongi Euleri valem. Kõik ülejäänu on sellest tuletatav.